在數(shù)控系統(tǒng)中，插補(bǔ)算法是生成加工軌跡的一個*基本的子程序，在很大程度上決定了數(shù)控機(jī)床的加工精度和*大進(jìn)給速度。傳統(tǒng)DDA圓弧插補(bǔ)計算過程簡單，但是用切線逼近圓弧造成誤差。本文提出了一種新的圓弧DDA插補(bǔ)算法，該改進(jìn)算法使用割線逼近圓弧，可以降低徑向誤差，插補(bǔ)精度較高，誤差分析結(jié)果表明DDA圓弧插補(bǔ)改進(jìn)算法具明顯的優(yōu)勢，可以有效提高計算精度和計算效率。

 

　　1傳統(tǒng)DDA圓弧插補(bǔ)算法在用戶編制的零件程序中，對于圓弧插補(bǔ)的程序段，提供了圓弧在XZ平面中的起點(diǎn)、終點(diǎn)以及圓心相對于起點(diǎn)的偏移量I 0、K 0值。現(xiàn)以**象限的順圓為例，說明傳統(tǒng)DDA圓弧插補(bǔ)算法的實(shí)現(xiàn)。

 

　　在機(jī)床XZ坐標(biāo)系中，設(shè)圓弧起點(diǎn)為A，圓心為C，坐標(biāo)軸原點(diǎn)平移A點(diǎn)后構(gòu)成IK坐標(biāo)系。IK坐標(biāo)系原點(diǎn)A即切割槍位置，隨著切割槍而移動，圓心C相對于原點(diǎn)A的坐標(biāo)值為（K，I）。第i次迭代之后，切割槍按照插補(bǔ)命令移動到A i點(diǎn)，這時圓心C的坐標(biāo)為（K i，I i）。在第i＋1次迭代中，切割槍將沿著切線A i C′方向移動，于是將按斜率為－K i／I i的切線進(jìn)行插補(bǔ)迭代一步，切割槍移動到A i＋1點(diǎn)。此時圓心C相對于A i＋1，的坐標(biāo)為（I i＋1，K i＋1）。

 

　 式（1）X和Z軸的進(jìn)給步長可以根據(jù)編程速度按斜率為－K i／I i；的直線A i C′計算如下：△X i＋1＝v（3）因此，**象限順圓的傳統(tǒng)DDA圓弧插補(bǔ)迭代公式如下式（4）I i＝I i－1－△X i K i＝K i－1－△Z i）式（5）X i＝X i－1－△X i Z i＝Z i－1－△Z i）式（6）上述公式中**個公式用來計算第I次插補(bǔ)周期中坐標(biāo)軸的進(jìn)給步長，第二個公式用來修正圓心相對于切割槍位置的現(xiàn)時坐標(biāo)，第三個公式用來計算切割槍應(yīng)該達(dá)到的命令位置。圖2中軌跡是根據(jù)傳統(tǒng)DDA圓弧插補(bǔ)算法形成的軌跡曲線，包括8個插補(bǔ)點(diǎn)。由切線逼近圓弧的插補(bǔ)算法本身的誤差所引起的徑向誤差較大。

 

　　2DDA圓弧插補(bǔ)改進(jìn)算法及其實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)DDA圓弧插補(bǔ)計算過程簡單，但是用切線逼近圓弧造成誤差。該改進(jìn)算法使用割線逼近圓弧，可以降低徑向誤差。改進(jìn)算法的思想如圖3所示，下面以順圓為例說明。

 

　　IK坐標(biāo)系原點(diǎn)A即切割槍位置，隨著切割槍而移動，圓心C相對于原點(diǎn)A的坐標(biāo)值為（K，I）。第i次迭代之后，切割槍按照插補(bǔ)命令移動到A i點(diǎn)，這時圓心C的坐標(biāo)為（K i，I i）。

 

　　在第i＋l次迭代中，切割槍將移動到A i＋1點(diǎn)。A i A i＋1是輔助圓A i DA i＋1的割線和輔助圓EBF的切線，R 1、R 2分別是輔助圓A i DA i＋1和EBF的半徑。

 

　　R是插補(bǔ)圓弧的半徑，因為內(nèi)外均差割線可以降低徑向誤差，所以由DDA圓弧插補(bǔ)原理可得G點(diǎn)坐標(biāo)（Z g，X g）Z x＝Z i＋A i G因為G、B、C在一條直線上，C點(diǎn)在ZX坐標(biāo)系下坐標(biāo)為（Z c，X c｝，所以B點(diǎn)坐標(biāo)（Z b，X b）為Z b＝Z c＋Z g式（15）因為B為A i A i＋1的中點(diǎn)，所以A i＋1的坐標(biāo)（Z i＋1，X i＋1）為Z i＋1＝2Z b－Z i X i＋1＝2b－X i）式（16）如圖4所示在插補(bǔ)的開始和結(jié)束位置，根據(jù)DDA插補(bǔ)原理，使用插補(bǔ)圓弧的切線連接插補(bǔ)圓弧和逼近圓弧的割線。

 

　　設(shè)圓弧插補(bǔ)起點(diǎn)為P o（Z o，X o），終點(diǎn)為P e（Z e，X e），圓心相對于圓弧起點(diǎn)的偏差為K 0和I 0，圓心相對于圓弧終點(diǎn)的偏差為K e和I e，圓弧半徑為R，進(jìn)給速度為v，插補(bǔ)周期為T，則改進(jìn)圓弧插補(bǔ)算法為（1）計算輔助圓半徑R 1和R 2 R 1＝R2）計算插補(bǔ)圓弧起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線斜率在起點(diǎn)處：k 0＝－k 0／I 0式（19）在終點(diǎn)處：k e＝－k e／I e式（20）（3）計算插補(bǔ)圓弧起點(diǎn)和終點(diǎn)的切線與外側(cè)輔助圓的交點(diǎn)A 1和A n的坐標(biāo)A 1的坐標(biāo)：Z 1＝R 1 2－R 2K 0／R＋Z 0 X 1＝－R 1 2－R I 0／R＋X 0

 

　　式（22）（4）計算**步進(jìn)給量△Z 1＝Z 1－Z 0式（23）△X 1＝X 1－X 0式（24）（5）修正圓心坐標(biāo)K 1＝K i－1－Z i I 1＝I i－1－X i（式（25）（6）計算算輔助插補(bǔ)步長L＝vTR 1 2R 2式（26）（7）根據(jù)式（13－16）計算第i步的命令位置A i（Z i，X i）（8）計算進(jìn)給量△Z i＝Z i－Z i－1式（27）△X i＝X i－X i－1式（28）（9）判別是否到達(dá)終點(diǎn)A n，若是，轉(zhuǎn)項（10），否則i加1后轉(zhuǎn)項（5）（10）結(jié)束軌跡是改進(jìn)后的DDA圓弧插補(bǔ)算法形成的軌跡曲線，對比可知改進(jìn)后的DDA圓弧插補(bǔ)算法的徑向誤差比原算法小。

 

　　3DDA圓弧插補(bǔ)改進(jìn)算法誤差分析以下的誤差分析主要針對DDA圓弧插補(bǔ)改進(jìn)算法的徑向誤差與弦線逼近圓弧的弦線誤差進(jìn)行比較。在相同的步長δ和相同的圓弧半徑R條件下，e r1為弦線逼近圓弧的弦線誤差，e r2為DDA圓弧插補(bǔ)改進(jìn)算法的徑向誤差。如所示，在弦線逼近圓弧時e r1的計算公式為e r1＝R（1－δ2 4R 2）式（29）如所示，在DDA圓弧插補(bǔ)改進(jìn)算法中的計算公式為e r2＝Rδ2 8R 2式（30）令△e r＝e r1－e r2 R＝1－1－δ2 4R 2 "－δ2 8R 2式（31）K＝δR式（32）則△e r＝1－1－k 2 4－k 2 8式（33）函數(shù)圖像如所示。當(dāng)0＜k≤2時，△e r＞0，即DDA圓弧插補(bǔ)改進(jìn)算法的徑向誤差小于弦線逼近圓弧的弦線誤差。而且在k＞1時，即切割小半徑圓弧時前者有明顯的優(yōu)勢。另外在DDA圓弧插補(bǔ)改進(jìn)算法中不包含超越函數(shù)，可以有效提高計算精度和計算效率。

 

　　4小結(jié)本文介紹了數(shù)控系統(tǒng)所使用的圓弧插補(bǔ)算法。

 

　　其中提出了一個基于傳統(tǒng)DDA圓弧插補(bǔ)算法的改進(jìn)算法，并通過比較證明了該算法相對于弦線插補(bǔ)算法的優(yōu)越性。實(shí)踐表明DDA圓弧插補(bǔ)改進(jìn)算法精簡了計算步驟，提高了計算速度。